программного и стабилизирующего управлений, расчетные формулы
для которых удобнее выразить сразу в исходной системе координат.
Представим систему (13) в виде так называемой “заготовки”:
˙
z
1
=
z
2
;
˙
z
2
= sin(
β
+
ψ
)
c
f
α
f
+
c
r
α
r
m
−
−
c
f
m
sin(
β
+
ψ
)
∙
u
1
+ (cos(
β
+
ψ
) +
β
sin(
β
+
ψ
))
u
2
;
˙
z
3
=
z
4
;
˙
z
4
=
−
cos(
β
+
φ
)
c
f
α
f
+
c
r
α
r
m
+
+
c
f
m
cos(
β
+
ψ
)
∙
u
1
+ (sin(
β
+
ψ
)
−
β
cos(
β
+
ψ
))
u
2
;
˙
η
1
=
ω
;
˙
η
2
=
−
c
r
α
r
m
1 +
l
r
l
f
−
vω.
(17)
Правые части системы (17) записаны относительно старых пере-
менных. Далее будем использовать как систему (13), так и ее запись в
виде (17).
Построение программного движения.
Применительно к пробле-
ме управления мобильным роботом типичной является задача о пе-
ремещении по заданной на плоскости траектории из начальной в ко-
нечную точку. Такая программная траектория для системы (11) будет
траекторией по части переменных, заданных на отрезке
[0
, T
]
. Найдем
программную траекторию по всем переменным и програмное управле-
ние, т.е. определим программное движение
(
z
(
t
)
, η
(
t
)
, u
(
t
))
. Отме-
тим, что замена переменных (15) такова, что программная траектория
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
при переходе к переменным
(
z, η
)
не преобразу-
ется.
Поэтому
z
1
=
x
(
t
) =
z
1
(
t
)
,
z
3
=
y
(
t
) =
z
3
(
t
)
. Вычислим
z
2
(
t
) =
dz
1
(
t
)
/dt
,
z
4
(
t
) =
dz
3
(
t
)
/dt
, а также
dz
2
(
t
)
/dt
и
dz
4
(
t
)
/dt
и подставим в первые четыре уравнения системы (13). Тогда из второ-
го и четвертого уравнений получим систему линейных алгебраических
уравнений относительно
u
1
,
u
2
. Коэффициенты этой системы — функ-
ции от
t
,
η
1
и
η
2
. Для того чтобы она имела единственное решение,
достаточно, чтобы матрица
G
, составленная из коэффициентов при
управлениях, была невырожденной при любых значениях
t
,
η
1
и
η
2
.
Условие
det
G
6
= 0
называют условием регулярности квазиканониче-
ского вида.
Кроме того, необходимо убедиться, что траектории
η
1
(
t
)
и
η
2
(
t
)
не
“уйдут на бесконечность” за конечное время.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
41
