ности семейства распределений вида
H
i
= span(
B
1
, B
2
,
ad
A
B
1
,
ad
A
B
2
, . . . ,
ad
i
A
B
1
,
ad
i
A
B
2
)
, i
= 0
,
1
, . . . ,
5
,
где
ad
X
Y
= [
X, Y
]
— коммутатор (скобка Ли) векторных полей
X
и
Y
,
а
ad
i
+1
X
Y
= [
X,
ad
i
X
Y
]
. Если
X
(
ξ
)
и
Y
(
ξ
)
— столбцы координат вектор-
ных полей
X
и
Y
соответственно, то столбец координат векторного
поля
[
X, Y
](
ξ
)
вычисляется по формуле
[
X, Y
](
ξ
) =
∂Y
(
ξ
)
∂ξ
X
(
ξ
)
−
∂X
(
ξ
)
∂ξ
Y
(
ξ
)
.
Непосредственными вычислениями можно показать, что
[
B
1
, B
2
]=0
,
т.е. эти векторные поля коммутируют. Следовательно, порожденное
этими векторными полями распределение
H
0
= span(
B
1
, B
2
)
инволю-
тивно. При
v
6
= 0
это распределение имеет постоянный ранг, равный
двум, и по теореме Фробениуса интегрируемо. Из соображений раз-
мерности для этого распределения существует четыре функционально
независимых первых интеграла.
Следовательно, можно утверждать, что система (11) приводится к
квазиканоническому виду с индексами
n
1
=
n
2
= 2
и неканонической
частью, состоящей из двух уравнений.
Для исследования возможности преобразования системы (11) к ка-
ноническому виду проведем анализ свойств распределения, порожден-
ного семейством
H
1
=
{
B
1
, B
2
,
ad
A
B
1
,
ad
A
B
2
}
.
Вычислив векторные поля
ad
A
B
1
,
ad
A
B
2
, получим
ad
A
B
1
=
γ
1
∂
∂β
+
γ
2
∂
∂ω
−
l
f
c
f
J
∂
∂ψ
+
+
c
f
sin(
β
+
ψ
)
m
∂
∂x
−
c
f
cos(
β
+
ψ
)
m
∂
∂y
;
ad
A
B
2
=
γ
3
∂
∂β
+
γ
4
∂
∂ω
−
(
β
sin(
β
+
ψ
)
−
cos(
β
+
ψ
))
∂
∂x
+
+(
β
cos(
β
+
ψ
)
−
sin(
β
+
ψ
))
∂
∂y
,
где
γ
i
,
i
= 1
, . . . ,
4
, — некоторые функции.
Определим ранг матрицы
U
1
, столбцы которой — координаты век-
торных полей
B
1
,
B
2
,
ad
A
B
1
и
ad
A
B
2
. Выделив в ней минор четверто-
го порядка, составленный из второй, третьей, пятой и шестой строк,
получим, что модуль этого минора равен
l
f
c
2
f
Jm
6
= 0
. Таким образом,
dim span(
H
1
) = 4
.
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
