компонента скорости газа;
r
— радиальная координата;
κ
— коэффици-
ент теплопроводности;
γ
— показатель политропы;
μ
— коэффициент
динамической вязкости;
σ
— коэффициент поверхностного натяжения.
Точки над переменными означают производную по времени, черта
сверху — безразмерную величину, нижний индекс “0” у параметров
указывает на невозмущенное значение.
Распространение плоских волн в двухфазной жидкости пузырь-
ковой структуры описывается обобщенным неоднородным волновым
уравнением Лайтхилла (1). В этом уравнении сделана поправка к ве-
личине газосодержания из-за сжимаемости несущей фазы. В качестве
дополнительного уравнения состояния, связывающего давление жид-
кости, газа и радиус пузырька, используется уравнение Рэлея–Лэмба
(2) (формулировка Келлера) для описания динамических и дисперси-
онных характеристик пузырька. Уравнение теплопроводности (3) опи-
сывает закон нестационарного теплообмена между фазами. Жидкость
можно считать термостатом, задающим постоянную температуру
T
L
стенки пузырьков, а пузырьки — нелинейными точечными осциллято-
рами, взаимодействующими с термостатом через поверхность раздела
фаз. Это позволяет ограничиться решением только внутренней задачи
теплопроводности для газовой фазы. Обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение (4) для давления газа получается при принятых в моде-
ли допущениях и граничных условиях. Формула (5) является акусти-
ческим уравнением состояния жидкости. Объемное газосодержание
монодисперсных пузырьков определяется формулой (6).
Сделаем следующие замечания об отличительных особенностях
приведенной модели. Полагаем справедливым основное допущение
механики сплошной среды — расстояния, на которых параметры те-
чения смеси меняются существенно (вне поверхности раздела фаз),
много больше размера пузырьков и расстояния между ними. Это по-
зволяет описать газожидкостную смесь как совокупность двух квази-
континуумов, заполняющих один и тот же объем. Каждый компонент
становится сплошной средой во всем объеме, занимаемым смесью,
и для нее можно применить законы сохранения парциальной массы,
импульса и энергии [19]. Уравнения сохранения виртуальной сплош-
ной среды записаны в терминах плотности, давления, скорости и т.д.
для каждого компонента смеси, что впервые было сделано в работе
[20], и принято односкоростное приближение (равновесие по скоро-
стям, по терминологии работы [19]). Уравнения гидродинамики лине-
аризованы, а нелинейные и дисперсионные эффекты вносятся только
дискретной фазой. В окончательной модели не используются параме-
тры фиктивной гомогенной среды (плотность смеси, давление смеси
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
7
