(штрихи опущены) в виде уравнения КдФ:
P
τ
+
ε
c
1
2
(
γ
+ 1)
γ
P
P
0
P
η
+
c
3
1
2
ω
2
0
P
ηηη
= 0
,
(26)
которое описывает солитоны положительной полярности возмущения
давления жидкого компонента и показаны на рис. 3 (штриховая кри-
вая).
Теперь не представляет труда сформулировать уравнение КдФ для
остальных переменных смеси. Принимая во внимание связь между
возмущениями скорости и давления, получаем
V
τ
+
ε
c
1
c
(
γ
+ 1)
2
V V
η
+
c
3
1
2
ω
2
0
V
ηηη
= 0
.
(27)
Особого внимания заслуживает тот факт, что из гамильтоновой си-
стемы (20)–(23) [23] выведено уравнение КдФ, которое, как известно,
также является гамильтоновой системой. Уравнение КдФ точно ин-
тегрируется с помощью метода обратной задачи рассеяния (МОЗР).
Однако МОЗР не применим в случаях, когда в динамике системы важ-
ную роль играют диссипативные или межфазные процессы. В таких
ситуациях приходится прибегать к численным моделям и методам.
Численная модель диссипативных уединенных волн в жидкости с
пузырьками газа.
Интерес представляют реальные среды с диссипаци-
ей, в которых имеет место приток и отток энергии, а в результате их
баланса возможно существование диссипативных солитонов. В свя-
зи с этим интересно проанализировать принципиальные особенности
возникновения стационарных возбуждений в нелинейной диспергиру-
ющей среде с потерями. В настоящей работе на примере жидкости
пузырьковой структуры продемонстрированы качественные отличия
нелинейных волновых процессов в средах с диссипацией и без нее.
Эволюция звуковой волны в смеси жидкости с теплопроводными
пузырьками показана на рис. 4. Видны особенности процесса фор-
мирования уединенной волны. Вначале за одно колебание пузырька
количество теплоты, отданное нагретым газом в жидкость, больше ко-
личества теплоты, поглощенного охлажденным газом из жидкости, за
счет чего и происходит рассеяние тепловой энергии и демпфирова-
ние колебаний пузырька газа. В результате, как видно из графиков,
амплитуда первых волн сильно убывает, но этот процесс не приводит
к полному затуханию, когда имеются нелинейные и дисперсионные
эффекты. Начиная с некоторой амплитуды, затухание первого гребня
волны прекращается. В процессе эволюции он объединяется со вто-
рым гребнем (как видно на штрихпунктирной кривой рис. 4,
а
, которая
соответствует моменту времени
t
= 50
,
6
мс), а тот — в свою очередь с
16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
