функции в степенные ряды по малому безразмерному параметру воз-
мущения
ε
, который можно положить равным максимальному из от-
ношений
ε
=
R
−
R
0
R
0
,
P
−
P
0
P
0
,
ρ
−
ρ
0
ρ
0
.
Тогда формальные разложения примут вид
V
=
εV
0
+
. . . , R
=
R
0
+
εR
0
+
. . . , P
=
P
0
+
εP
0
+
. . . .
(24)
Подставим разложение (24) в подсистему (20)–(23) и сохраним члены
до второй степени
ε
включительно. В результате для волн, бегущих в
одну сторону вдоль характеристики
x
−
c
1
t
=
const, в новых перемен-
ных
τ
=
t
и
η
=
x
−
c
1
t
после ряда преобразований получим искомое
уравнение для микропеременной
R
0
в виде (штрихи опущены)
R
τ
−
ε
3
c
1
2
R
0
(
γ
+ 1)
RR
η
+
c
3
1
2
ω
2
0
R
ηηη
= 0
,
(25)
где
c
1
— скорость звука в низкочастотном приближении, определяемая
из формулы
1
/c
2
1
= 1
/c
2
+
ϕ
0
ρ/
(
γP
0
)
.
Коэффициенты при нелинейном
и дисперсионном членах уравнения (25) определяются только дис-
кретной газовой фазой — пузырьками. Знак минус при нелинейном
члене полученного уравнения соответствует знаку амплитуды волны
возмущения радиусов
R
(сплошные линии на рис. 3). Отрицательные
консервативные солитоны получаются при условии баланса между не-
линейным искажением профиля волны и его дисперсионным расплы-
ванием. В нашем случае оба этих эффекта в газожидкостной суспензии
связаны только с наличием пузырьков. Важно отметить, что в насто-
ящей работе уравнение КдФ (25) выведено с использованием нового
сильного механизма нелинейности, который кардинально отличается
от механизма нелинейности, использованного в работе Вейнгардена
[2].
Экспериментально проще измерять давление в жидкой фазе, явля-
ющееся переменной макроуровня, для которой также можно вывести
уравнение КдФ. Между давлением газа и радиусом полости нетрудно
установить связь:
P
0
g
/P
g
0
=
−
3
γR
0
/R
0
. В длинноволновом приближе-
нии динамическая нелинейность пузырька, определяемая вторым не-
линейным членом слева в уравнении его радиального движения (22),
существенно меньше нелинейности уравнения состояния газа (23), как
показано в [21]. В силу медленных пульсаций микроинерцией пузырь-
ка также можно пренебречь, тогда из уравнения (22) следует
P
0
g
=
P
0
.
Это приближение полностью подтвердилось в численных расчетах.
Теперь уравнение (25) можно переписать для макропеременной
P
0
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
15
