Трехслойная компактная разностная схема повышенного порядка
точности
(
O
(
τ
2
+
h
4
))
для неоднородного нелинейного волнового урав-
нения (1) была реализована в работе [12]:
A
P
n
+1
−
2
P
n
+
P
n
−
1
τ
2
= Λ
x
0
P
n
+
Rf
n
s
,
(18)
A
=
E
+
h
2
12
Λ
x
0
, Rf
n
s
=
f
n
s
+
h
2
12
Λ
x
0
f
n
s
,
где
E
— единичная матрица;
Λ
x
0
— центральная аппроксимация двой-
ного дифференцирования по
x
;
f
s
описывает монопольные источники
Лайтхилла в правой части уравнения (1). Этот член содержит произ-
водную давления (или плотности) по времени в каждом узле простран-
ственной сетки. Здесь используется формула дифференцирования на-
зад четвертого порядка точности. Волновое уравнение интегрируется
как эволюционная краевая задача.
Для контроля корректности вычислений теплообмена между газо-
вой полостью и окружающей средой используется закон сохранения
массы
m
пузырька на каждом временном шаге
m
= 3
PR
3
1
Z
0
y
2
T
(
y
)
dy.
(
19
)
Во всех приведенных результатах расчетов относительная ошибка в
определении массы не превышала
1
% для тепловой задачи одиночно-
го пузырька. Для второй задачи о распространении длинноволновых
возмущений относительная ошибка на порядок (и более) была мень-
ше, чем в предыдущей задаче.
Уравнения (2) и (4) интегрировали явным методом Рунге–Кутты
четвертого порядка с автоматическим выбором шага. В целом числен-
ная схема имеет четвертый порядок по пространству и второй по вре-
мени
O
(
τ
2
+
h
4
))
. Пакет программ написан на языке Фортран-77 с
применением технологии параллельного программирования MPI. Рас-
четы проводились на многопроцессорном вычислительном комплексе
МВС-1000М и впервые получены результаты с использованием иссле-
дуемой математической модели.
Обсуждение результатов
, Общие для всех расчетов параметры си-
стемы вода–воздух:
P
0
= 100
кПа,
T
L
= 293
K,
γ
= 7
/
5
,
ρ
0
= 10
3
кг/м
3
,
σ
= 0
,
072
Н/м,
μ
= 10
−
3
кг/(м
∙
c),
c
= 1500
м/с,
ω
0
=
R
−
1
0
p
3
γP
0
/ρ
0
—
собственная частота пузырька Миннаэрта. Зависимость коэффициента
теплопроводности воздуха от температуры задана в виде
κ
(
T
) =
AT
+
+
B
, где
A
= 5
,
52810
−
5
Дж/(м
∙
с
∙
K
2
)
,
B
= 1
,
165
∙
10
−
2
Дж/(м
∙
с
∙
K).
Для тестирования программы повторены расчеты, аналогичные ра-
боте [6], с параметрами
P
A
= 60
кПа,
R
0
= 50
мкм и
ω/ω
0
= 0
,
78
.
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
