Для уравнений (2), (4) и (6) ставятся естественные начальные
условия:
R
(
x,
0) =
R
0
,
∂R
(
x,
0)
∂t
= 0
,
(
11
)
P
g
(
x,
0) =
P
0
+
2
σ
R
0
,
(12)
ϕ
(
x,
0) =
ϕ
0
.
(13)
Отметим, что точность аппроксимации граничных условий не ниже
точности аппрокцимации численных схем.
Алгоритмы численного интегрирования задачи.
Рассмотрим
основные разностные схемы численного интегрирования нелинейной
системы (1)–(6). Для этого в уравнении теплопроводности пузырька
введем тепловой потенциал
Ψ
и безразмерную радиальную координа-
ту
y
:
Ψ =
T
Z
T
L
κ
(
θ
)
dθ, y
=
r
R
(
t
)
.
(
14
)
Центру пузырька соответствует
y
= 0
, а подвижной стенке
y
= 1
.
Для численных расчетов удобно ввести новую функцию
ϑ
, связанную
с тепловым потенциалом формулой
ϑ
=
y
Ψ
. Для нелинейного урав-
нения теплопроводности предлагается компактная трехслойная раз-
ностная схема на девятиточечном шаблоне с тремя узлами с индексом
n
+ 1
на верхнем временном слое
t
n
+1
, тремя узлами с индексом
n
на
промежуточном слое
t
n
и тремя узлами с индексом
n
−
1
на нижнем
временном слое
t
n
−
1
. Используя асимптотическое разложение, полу-
чаем схему повышенного порядка точности
(
O
(
τ
2
+
h
4
))
[11]
ϑ
n
t
=
ζ
n
Λ
y
0
ϑ
n
+1
+
ϑ
n
−
1
2
−
h
2
12
Λ
y
0
ϑ
n
t
ζ
n
−
φ
n
−
h
2
12
Λ
y
0
φ
n
ζ
n
,
(
15
)
в которой
(
φ
)
n
i
=
y
γ
−
1
γP
g
R
2
∂
Ψ
∂y
−
y
∂
Ψ
∂y
y
=1
!
∂
Ψ
∂y
−
D
˙
P
g
+
y
˙
R
R
∂
Ψ
∂y
!
,
(
16
)
ϑ
n
t
=
ϑ
n
+1
−
ϑ
n
−
1
2
τ
,
ζ
n
=
D
(
P
n
g
, T
n
)
(
R
n
)
2
,
(
17
)
где
h
— пространственный шаг по
y
;
τ
— временной шаг;
Λ
y
0
— обычная
аппроксимация двойного дифференцирования по координате
y
;
φ
n
—
“источниковый” член в уравнении (3) после всех преобразований.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
9
