распадается на последовательность волн, близких к уединенным. На
рис. 3 показан пример пространственной эволюции гармонического
(на входе) возмущения. Волновое поле относится к моменту времени
t
= 44
мс. Верхняя координата
X
относится к профилю радиуса, изо-
браженному тонкой сплошной кривой, а нижняя абсцисса — к профи-
лю радиуса
R
, изображенному жирной кривой, и профилю давления,
изображенному пунктирной кривой. Результаты моделирования пока-
зывают, что синусоидальное возмущение вначале ведет себя подобно
обычной нелинейной волне в газовой динамике: крутизна фронтов уве-
личивается и формируется N-образная волна. На расстоянии 13 м начи-
нает сказываться дисперсия, обусловленная наличием пузырьков. На
тонкой кривой профиля радиуса видны зародыши солитонов, возника-
ющие в течение отрицательного полупериода. Дальнейшая эволюция
этих зародышей приводит к рассыпанию синусоидальной волны на со-
вокупность солитонов, которые показаны цифрами
1. . . 4
на профиле
радиуса (жирная линия), а также на профиле давления (штриховая ли-
ния); вершины их лежат на одной прямой. Сравнение с результатами
работы [22] указывает на полное качественное совпадение этих про-
цессов и на существование своего уравнения КдФ в рассматриваемой
системе. Действительно, если пренебречь всеми видами диссипации,
поверхностным натяжением и учесть, что концентрация пузырьков в
единице объема
n
=
const,
ϕ
1
,
˙
R/c
1
, то в этом частном случае
полная система (1)–(6) выглядит так:
1
ρc
2
∂P
∂t
+
∂V
∂x
= 4
πR
2
n
˙
R
;
(20)
ρ
∂V
∂t
+
∂P
∂x
= 0;
(21)
R
¨
R
+
3
2
˙
R
2
=
1
ρ
(
P
g
−
P
);
(22)
P
g
=
P
0
R
0
R
3
γ
,
(23)
где
V
— гидродинамическая скорость частиц жидкости. Из этой га-
мильтоновой системы [23] c использованием метода многомасштаб-
ных разложений получено уравнение КдФ для возмущения радиуса
пузырьков, совершающих нелинейные колебания [24].
Уравнение КдФ можно вывести иначе, используя формализм не-
линейной волновой динамики. Оно естественно возникает как глав-
ный член аппроксимации во всех консервативных волновых системах
со слабой нелинейностью и слабой дисперсией. Разложим искомые
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
