На основании вышеизложенного преобразуем постановку задачи к
виду:
r
2
ϕ
(
G
4
) = 0;
ϕ
(
S
1
) = 1
, S
1
:
r
=
b, ϕ
0
6
ϕ
6
π
−
ϕ
0
, l
1
6
z
6
l
1
+
l
0
;
ϕ
(
S
0
0
) = 0
, S
0
0
:
r
=
r
(
S
0
0
, ϕ
)
,
0
6
ϕ
6
2
π,
0
6
z
6
L
;
ϕ
(
S/S
1
) = 0
, S/S
1
:
r
=
b,
0
6
ϕ
6
2
π, l
1
+
l
0
6
z
6
L,
r
=
b,
0
6
ϕ
6
ϕ
0
, π
−
ϕ
0
6
ϕ
6
2
π,
l
1
6
z
6
l
1
+
l
0
,
z
= 0
, z
=
L,
0
6
r
6
b,
0
6
ϕ
6
2
π.
(9)
Особенность задачи в постановке (9) — это поиск аналитического
решения в условиях, когда координаты
S
0
0
зависят от параметров сме-
щения
d
,
ψ
0
,
ξ
z
,
α
,
β
. При этом граничные условия на поверхности
S
0
0
должны быть инвариантны к смещениям.
Если перемещения ротора малы, то можно, основываясь на методах
теории возмущений [2], аппроксимировать решение задачи о распре-
делении потенциала асимптотическим рядом по степеням параметров
перемещения:
ϕ
(
G
4
) =
ϕ
(0)
+
ϕ
(1)
d
∙
d
+
ϕ
(2)
d
∙
d
2
+
...
+
ϕ
(1)
α
∙
α
+
+
ϕ
(2)
α
∙
α
2
+
...ϕ
(1)
β
∙
β
+
ϕ
(2)
β
∙
β
2
+
...
+
ϕ
(1)
ξ
z
∙
ξ
z
+
ϕ
(2)
ξ
z
∙
ξ
2
z
+
...
+
ϕ
(2)
dα
∙
d
∙
α
+
ϕ
(2)
dβ
∙
d
∙
β...
+
+
ϕ
(2)
αβ
∙
α
∙
β...
+
ϕ
(2)
αξ
z
∙
α
∙
ξ
z
+
...
+
ϕ
(2)
βξ
z
∙
β
∙
ξ
z
+
...,
(10)
где
ϕ
(0)
— потенциал нулевого порядка, соответствующий несмещен-
ному положению ротора,
ϕ
(1)
d
,
ϕ
(1)
α
,
ϕ
(1)
β
,
ϕ
(1)
ξ
z
— возмущенные потенци-
алы первого порядка по соответствующему параметру перемещения,
ϕ
(2)
d
,
ϕ
(2)
α
,
ϕ
(2)
β
,
ϕ
(2)
ξ
z
,
ϕ
(2)
dβ
,
ϕ
(2)
αβ
,
ϕ
(2)
αξ
z
,
ϕ
(2)
βξ
z
— возмущенные потенциалы
второго порядка.
В разложении (10) сохраним члены не выше второго порядка из-
за малости перемещений. Подставляя выражение (10) в систему (9) ,
получаем
r
2
ϕ
(
k
)
= 0
, k
= 0
,
1
,
2;
ϕ
(0)
(
S
1
) = 1;
ϕ
(0)
(
S/S
1
) = 0;
ϕ
(
n
)
(
S
) = 0
, n
= 1
,
2
.
(11)
Чтобы найти недостающие граничные условия для всех возму-
щенных потенциалов на поверхности
S
0
0
, примем малые перемещения
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
77
