ротора как возмущения его несмещенной (базовой) поверхности при
r
=
a
. Разложим потенциал на границе поверхности
S
0
0
в ряд Тейлора
по степеням отклонения этой поверхности от базовой:
ϕ
(
S
0
0
) =
ϕ
(
a, ϕ, z
) +
∂ϕ
(
a, ϕ, z
)
∂r
[
r
(
S
0
0
, ϕ, z
)
−
a
] +
+
1
2
∂
2
ϕ
(
a, ϕ, z
)
∂r
2
[
r
(
S
0
0
, ϕ, z
)
−
a
]
2
+
. . . .
(12)
Подставляя выражение (12) в соотношения (8) и (10) и учитывая
инвариантность потенциала на поверхности ротора при любых сме-
щениях, т.е.
ϕ
(
S
0
0
) = 0
, находим граничные условия на поверхности
r
=
a
для возмущенных потенциалов каждого порядка путем прирав-
нивания членов при одинаковых степенях перемещения:
ϕ
(0)
(
a, ϕ, z
) = 0;
ϕ
(1)
d
(
a, ϕ, z
) =
−
∂ϕ
(0)
(
a, ϕ, z
)
∂r
cos
γ
;
ϕ
(2)
d
(
a, ϕ, z
) =
1
2
a
∂ϕ
(0)
(
a, ϕ, z
)
∂r
sin
2
γ
−
−
∂ϕ
(1)
d
(
a, ϕ, z
)
∂r
cos
γ
−
1
2
∂
2
ϕ
(0)
(
a, ϕ, z
)
∂r
2
cos
2
γ
;
ϕ
(1)
α
(
a, ϕ, z
) =
L
2
−
z
∂ϕ
(0)
(
a, ϕ, z
)
∂r
sin
ϕ
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕ
(2)
βξ
z
(
a, ϕ, z
) =
∂ϕ
(0)
(
a, ϕ, z
)
∂r
cos
ϕ.
(13)
Общее решение уравнения Лапласа в области
G
4
для неизвестных
потенциалов
ϕ
(
k
)
, входящих в выражения (11) и (13), имеет вид
ϕ
(
k
)
(
r, ϕ, z
) =
∞
X
n
=0
∞
X
m
=1
(
A
n
sin
nϕ
+
B
n
cos
nϕ
)
×
×
h
C
mn
I
n
πmr
L
+
D
mn
K
n
πmr
L
i
sin
πm
L
z , k
= 0
,
1
,
2
,
где
I
n
πmr
L
и
K
n
πmr
L
— функции Бесселя 1-го и 2-го рода мни-
мого аргумента, а неизвестные константы
A
n
,
B
n
,
C
mn
,
D
mn
опреде-
ляются из граничных условий.
Решение для потенциала нулевого порядка с учетом граничных
условий получено в виде
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
