Рассмотрим динамическую систему с управлением и с выходом
˙
z
=
k
1
z
−
a
1
zη
+
u,
˙
η
=
−
k
2
η
+
a
2
zη,
y
=
z,
(31)
описывающую гипотетическую химическую реакцию. Эта система за-
писана в нормальной форме, которая определена глобально. Относи-
тельная степень выхода равна 1.
Будем проводить численное моделирование при значениях параме-
тров
k
1
= 0
,
4
,
k
2
= 0
,
1
,
a
1
= 0
,
5
,
a
2
= 0
,
5
.
Рассмотрим задачу остановки реакции из состояния
z
|
t
=0
=
a
,
η
|
t
=0
=
η
0
, т.е. задачу приведения системы (31) в положение равнове-
сия
z
= 0
,
η
= 0
. Зададим изменение выхода
z
(
t
) =
ae
−
bt
,
t
≥
0
, где
a >
0
,
b >
0
.
Подставив заданное изменение выхода во второе уравнение систе-
мы (31), получим
˙
η
=
−
k
2
η
+
a
2
(
ae
−
bt
)
η
=
−
(
k
2
−
a
2
(
ae
−
bt
))
η.
(32)
При
η
|
t
=0
=
η
0
решение задачи Коши имеет вид
η
(
t
) =
η
0
e
−
[
k
2
t
−
aa
2
b
(1
−
e
−
bt
)
]
.
(33)
Подставляя
z
(
t
)
и
η
(
t
)
в первое уравнение системы (31), получим
программное управление
u
(
t
) = ˙
z
(
t
)
−
k
1
z
(
t
) +
a
1
z
(
t
)
η
(
t
) =
=
ae
−
bt
(
−
b
−
k
1
+
a
1
η
0
e
−
[
k
2
t
−
aa
2
b
(1
−
e
−
bt
)
] )
.
(34)
Таким образом, найдено программное движение, определенное при
t
≥
0
.
На рис. 1 приведены зависимости переменных
z
и
η
от времени при
свободном движении системы (
u
= 0
) из точки
z
(0) = 0
,
15
,
η
(0) = 0
,
6
,
а также графики программного изменения переменных
z
(
t
)
,
η
(
t
)
и
программного управления
u
(
t
)
при
a
= 0
,
15
,
b
= 0
,
1
,
η
0
= 0
,
6
.
Численные эксперименты показывают, что полученное программ-
ное движение неустойчиво. На рис. 2 приведены графики зависимо-
стей
z
(
t
)
и
η
(
t
)
, полученные при подстановке программного управле-
ния в систему (31) при
z
|
t
=0
=
z
(0)
,
η
|
t
=0
=
η
(0)
, а также программ-
ная и реализующаяся траектории системы при
t
= 0
. . .
44
. Интегри-
рование проводилось методом Рунге–Кутты 4-5 порядка с автоматиче-
ским выбором шага при относительной точности 0,001 (метод ode45
пакета Matlab), тем не менее реализующаяся траектория при
t
≥
35
существенно отличается от программной, что является следствием не-
устойчивости по первому приближению положения равновесия
z
= 0
первого уравнения системы (31).
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
