основанными на следующих рассуждениях
.
Если в момент
t
+∆
t
число
частиц равно
j
,
то в момент
t
либо было
j
−
1
частиц и за время
∆
t
по
-
явилась одна новая частица
,
либо было
j
+ 1
частиц и одна частица по
-
гибла
,
либо было
j
частиц и за время
∆
t
это число не изменилось
.
При
этом состояние процесса
ξ
(
t
)
в момент
t
+∆
t
зависит только от состоя
-
ния в момент
t
и не зависит от состояний
,
предшествующих моменту
t
.
Путем перестановки членов в равенствах
(2)
и деления на
∆
t
получаем
при заданном
i
и
∆
t
→
0
вторую
(
прямую
)
систему дифференциальных
уравнений Колмогорова для переходных вероятностей
[10]:
dP
00
(
t
)
dt
=
−
P
00
(
t
)
λ,
dP
ij
(
t
)
dt
=
P
i,j
−
1
(
t
)
λ
−
P
ij
(
t
)(
λ
+
µj
(
j
−
1)) +
P
i,j
+1
(
t
)
µj
(
j
+ 1)
,
i
= 0
,
1
, . . . , j
= 1
,
2
, . . . ,
(3)
с начальными условиями
P
ii
(0) = 1
,
P
ij
(0) = 0
при
i
6
=
j
.
Введем производящую функцию переходных вероятностей
F
i
(
t
;
s
) =
P
∞
j
=0
P
ij
(
t
)
s
j
,
i
∈
N
,
|
s
| ≤
1
.
Тогда умножением
j
-
го уравне
-
ния на
s
j
и суммированием по
j
получим из системы
(3)
равносильное
уравнение в частных производных второго порядка
[11]:
∂F
i
(
t
;
s
)
∂t
=
µ
(
s
−
s
2
)
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
+
λ
(
s
−
1)
F
i
(
t
;
s
)
, F
i
(0;
s
) =
s
i
.
(4)
Поведение марковского процесса
ξ
(
t
)
при
t
→ ∞
характеризуется
стационарными вероятностями
q
j
= lim
t
→∞
P
ij
(
t
)
,
которые не зави
-
сят от начального состояния
i
.
Из уравнения
(4)
следует стационарное
уравнение для производящей функции
f
(
s
) =
P
∞
j
=0
q
j
s
j
:
µs
d
2
f
(
s
)
ds
2
−
λf
(
s
) = 0
.
(5)
Для функций
F
i
(
t
;
s
)
и
f
(
s
)
выполнены условия нормировки
F
i
(
t
; 1)
≡
1
,
f
(1) = 1
.
Математическое ожидание
m
и дисперсия
σ
2
стационарного
распределения
{
q
j
,
j
= 0
,
1
, . . .
}
вычисляются по формулам
[4]
m
=
df
(1)
ds
,
σ
2
=
d
2
f
(1)
ds
2
+
df
(1)
ds
−
µ
df
(1)
ds
¶
2
.
(6)
В работе
[8]
получено решение уравнения
(5)
f
(
s
) =
√
s
I
1
µ
2
r
λs
µ
¶
I
1
µ
2
r
λ
µ
¶
,
(7)
6
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
