ятности каждого из переходов за время
∆
t
→
0
соответственно равны
λ
∆
t
+
o
(∆
t
)
и
µi
(
i
−
1)∆
t
+
o
(∆
t
)
.
Число
k
0
частиц
,
образующихся
в результате перехода
0
→
k
0
T
,
определяется распределением веро
-
ятностей
{
p
0
k
0
}
,
а переход
2
T
→
k
2
T
с распределением вероятностей
{
p
2
k
2
}
приводит к замене пары частиц
k
2
новыми частицами
.
Вычисляя
полную вероятность перехода из состояния
i
в состояние
j
за время
∆
t
→
0
,
представим переходные вероятности
P
ij
(∆
t
)
,
i, j
∈
N
,
в виде
P
ij
(∆
t
) =
(
λp
0
j
−
i
+
µi
(
i
−
1)
p
2
j
−
i
+2
)∆
t
+
o
(∆
t
)
при
j > i,
1
−
(
λ
+
µi
(
i
−
1))∆
t
+
o
(∆
t
)
при
j
=
i,
µi
(
i
−
1)
p
2
j
−
i
+2
∆
t
+
o
(∆
t
)
при
i
−
2
≤
j < i,
o
(∆
t
)
при
j < i
−
2
.
Таким образом
,
марковский процесс
ξ
(
t
)
,
t
∈
[0
,
∞
)
,
на множестве со
-
стояний
N
=
{
0
,
1
, . . .
}
задан плотностями распределения вероятно
-
стей переходов
.
В состоянии
i
процесс
ξ
(
t
)
находится случайное время
,
до тех пор
,
пока не произойдет один из указанных переходов
.
Переход
0
→
k
0
T
может произойти спустя случайное время
τ
0
i
,
имеющее распределе
-
ние вероятностей
P
{
τ
0
i
< t
}
= 1
−
e
−
λt
[6,
гл
. 1, § 2],
а переход
2
T
→
k
2
T
—
спустя время
τ
2
i
,
имеющее распределение вероятностей
P
{
τ
2
i
< t
}
= 1
−
e
−
µi
(
i
−
1)
t
.
Поскольку величины
τ
0
i
и
τ
2
i
независимы
,
то время
τ
i
= min(
τ
0
i
, τ
2
i
)
нахождения системы в состоянии
i
распре
-
делено по экспоненциальному закону
,
P
{
τ
i
< t
}
= 1
−
e
−
(
λ
+
µi
(
i
−
1))
t
,
а
условные вероятности каждого из переходов
(
при условии
,
что какой
-
либо переход произошел
)
соответственно равны
λ/
(
λ
+
µi
(
i
−
1))
и
µi
(
i
−
1))
/
(
λ
+
µi
(
i
−
1))
.
При помощи производящих функций
F
i
(
t
;
s
) =
∞
X
j
=0
P
ij
(
t
)
s
j
,
h
k
(
s
) =
∞
X
l
=0
p
k
l
s
l
, k
= 0
,
2
,
|
s
| ≤
1
,
вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова для пере
-
ходных вероятностей марковского процесса
ξ
(
t
)
записывается в виде
уравнения в частных производных
[11,
теорема
1.3]
∂F
i
(
t
;
s
)
∂t
=
µ
(
h
2
(
s
)
−
s
2
)
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
+
λ
(
h
0
(
s
)
−
1)
F
i
(
t
;
s
)
, F
i
(0;
s
) =
s
i
.
Соответствующее уравнение для производящей функции
f
(
s
) =
= lim
t
→∞
F
i
(
t
;
s
)
стационарных вероятностей принимает вид обык
-
новенного дифференциального уравнения второго порядка
[11,
теоре
-
ма
3.2]
µ
(
h
2
(
s
)
−
s
2
)
d
2
f
(
s
)
ds
2
+
λ
(
h
0
(
s
)
−
1)
f
(
s
) = 0
.
(8)
8
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
