где
I
1
(
s
)
—
модифицированная функция Бесселя первого порядка
.
На
основе выражения
(7)
при
λ/µ
→ ∞
найдены асимптотики стационар
-
ных математического ожидания
m
=
p
λ/µ
и дисперсии
σ
2
=
p
λ/
(4
µ
)
.
Таким образом
,
когда при больших
t
в стохастической системе уста
-
навливается динамическое равновесие
,
число частиц
ξ
(
t
)
колеблется
около значения
p
λ/µ
,
если это число достаточно велико
(
см
.
рис
. 1).
Следовательно
,
в состоянии равновесия при большом числе частиц де
-
терминированная и вероятностная модели дают близкие результаты
.
Однако в вероятностной модели заметные отклонения от математиче
-
ского ожидания при большом числе частиц учитываются ростом дис
-
персии
,
что делает эту модель более адекватной по сравнению с детер
-
минированной
.
Рассмотренный марковский процесс
ξ
(
t
)
относится к процессам ро
-
ждения и гибели
[10],
для которых непосредственный переход из со
-
стояния
i
происходит только в состояние
i
−
1
или
i
+ 1
.
Для процессов
рождения и гибели выражения для стационарных вероятностей извест
-
ны
[6,
гл
. 1, § 5,
формулы
(21), (22)],
но малопригодны при асимптоти
-
ческом исследовании
.
Выражение
(7)
для производящей функции
f
(
s
)
определяет возможности изучения предельных свойств стационарно
-
го распределения и приближенного вычисления вероятностей
.
В рабо
-
те
[8]
установлено
,
что распределение
{
q
j
}
асимптотически нормально
при
λ/µ
→ ∞
,
т
.
е
.
вероятность нахождения случайного процесса в пре
-
делах от
j
1
до
j
2
при больших
t
приближенно вычисляется следующим
образом
:
j
2
X
j
=
j
1
q
j
≈
1
σ
√
2
π
j
2
Z
j
1
e
−
(
y
−
m
) 2
2
σ
2
dy.
В настоящей работе свойство асимптотической нормальности уста
-
новлено для более общей марковской модели
,
не являющейся процес
-
сом рождения и гибели
.
При исследовании предельных свойств стаци
-
онарного распределения используются асимптотические разложения
для модифицированных функций Бесселя и вырожденных гипергеоме
-
трических функций
,
получаемые с помощью известных интегральных
представлений
[12].
Асимптотики вырожденных гипергеометрических
функций получены с помощью метода перевала
[13, 14],
в том числе
,
когда критическая точка зависит от растущего параметра
.
Описание общей стохастической модели
.
Второе уравнение
Колмогорова
.
Рассматриваемая система частиц описывается кинети
-
ческой схемой
0
→
k
0
T
,
2
T
→
k
2
T
,
в которой коэффициентам
k
0
и
k
2
соответствуют распределения вероятностей
{
p
k
l
≥
0
,
P
∞
l
=0
p
k
l
= 1
,
p
k
k
= 0
}
,
k
= 0
,
2
[11].
Если в системе имеется
i
частиц типа
T
,
то веро
-
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
7
