Рис. 4. Локальная система координат, связанная с обтекаемым телом
Для поверхности тела, где
ξ
= 0
, имеем
~e
y
=
~n
=
1;
−
R
Т
ϕ
R
sin
θ
;
−
R
Т
θ
R
s
1 +
R
Т
ϕ
R
sin
θ
2
+
R
Т
θ
R
2
;
~e
y
, ~e
x
— единичные орты в локальной системе координат;
~e
y
=
~n
—
нормаль к поверхности тела.
Сам вектор скорости определен в обеих системах координат —
исходной ССК и локальной системе координат:
~V
=
u~e
x
+
v ~e
y
=
u
R
~e
R
+
u
ϕ
~e
ϕ
+
u
θ
~e
θ
,
где
~e
R
, ~e
θ
, ~e
ϕ
— единичные орты в сферической системе координат;
u
R
, u
θ
, u
ϕ
— компоненты скорости в исходной ССК.
Запишем выражения для орта в касательном направлении
~e
x
=
~V
−
v~n
~V
−
v~n
=
~V
−
~V
∙
~n ~n
~V
−
~V
∙
~n ~n
и градиента функции
f
в сферической системе координат
r
f
=
∂v
∂R
~e
R
+
1
R
sin
θ
∙
∂v
∂ϕ
~e
ϕ
+
1
R
∙
∂v
∂θ
~e
θ
.
Производная компонент скорости в локальной системе координат
вычисляется по формулам:
∂v
∂x
=
∂v
∂R
(
~e
R
∙
~e
x
) +
1
R
sin
θ
∙
∂v
∂ϕ
(
~e
ϕ
∙
~e
x
) +
1
R
∙
∂v
∂θ
(
~e
θ
∙
~e
x
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
95
