1 / 14 Next Page
Information
Show Menu
1 / 14 Next Page
Page Background

4

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

УДК 517.956

DOI: 10.18698/1812-3368-2016-5-4-17

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ

НА ГРАНИЦЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА

ТРИКОМИ — КЕЛДЫША В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

О.Д. Алгазин

mopi66@yandex.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Ключевые слова

Методом преобразования Фурье и методом подобия

решена краевая задача Дирихле для многомерного

обобщения уравнений Трикоми, Геллерстедта и Келды-

ша в полупространстве, в котором это уравнение эллип-

тично с краевым условием на граничной гиперплоско-

сти, где уравнение вырождается. Решение представлено

в виде интеграла с простым ядром, являющимся ап-

проксимативной единицей и автомодельным решением

уравнения типа Трикоми — Келдыша. В частности, эта

формула включает в себя и формулу Пуассона, дающую

решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полу-

пространстве. Если заданное граничное значение явля-

ется обобщенной функцией медленного роста, то реше-

ние задачи Дирихле можно записать в виде свертки этой

функции с ядром (если свертка существует)

Преобразование Фурье, уравнение

Трикоми, задача Дирихле, ап-

проксимативная единица, авто-

модельное решение, метод подо-

бия, обобщенные функции мед-

ленного роста

Поступила в редакцию 20.03.2016

©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016

Введение.

Рассмотрим многомерное эллиптическое уравнение в полупростран-

стве

    

Δ

0,

2,

0,

m

x

yy

y u u

m y

(1)

где

    

1

,

,

,

0;

,

n

n

x x

x

y u u x y

— функция переменных

1

,

;

n

x y

 

2

2

2

2

1

Δ

x

n

x

x

— оператор Лапласа по переменным

x

.

При

 

1,

1

n m

получаем уравнение Трикоми

 

0,

xx yy

yu u

при

 

1,

0

n m

— уравнение Геллерстедта

  

0,

0.

m

xx yy

y u u

m

При

 

1,

0

n m

уравнение (1) можно записать в виде

   

0, 0

2,

m

xx

yy

u y u

m

что представляет собой частный случай уравнения Келдыша [1]. Эти уравнения

применяют в трансзвуковой газовой динамике и в математических моделях хо-

лодной плазмы [2, 3]. При

0

m

получаем уравнение Лапласа

Δ ,

0.

u x y