Previous Page  10 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 14 Next Page
Page Background

Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

13

 

2/3

1

1

1

/2 1/3

/2 1/3

2

3

2

3

2

,

,

9

4 9

4

n

n

n

n

n

n

C y

C y

k x y

y x

y

x

где

 

 

2/3

1/2

2/3

*

1

1

/2

1/3 /2 1

2 3 Г / 2 1/ 3 3 Г 2 / 3 Г / 2 1/ 3

2

.

Г 1/ 3

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

C

C

Покажем, что функция

,

,

nm

k x y

определяемая по формуле (14), является

аппроксимативной единицей в пространстве интегрируемых в

n

функций,

т. е. обладает следующими свойствами при

0 :

y

1)

,

0;

nm

k x y

2)

,

1;

n

nm

k x y dx

3) для

 

 

0 δ

δ 0 , lim sup

,

0.

nm

y

x

k x y

Свойства 1 и 3 доказывают так же, как и для

1.

m

Докажем свойство 2.

Имеем

 

  

2 /2

2 /2

1

,

1.

n

n

n

nm

n m

m

x

k x y dx

dx

t dt

y

y

Следовательно, решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми может

быть записано в виде свертки граничной функции

 

x

с ядром

,

nm

k x y

(ес-

ли свертка существует)

 

  

,

,

.

nm

u x y

x k x y

Если

 

x

— ограниченная кусочно-непрерывная функция, то свертка суще-

ствует и записывается в виде интеграла

 

 

 

/2 1/

2

2

2

2

,

.

2 / 2

n

nm

n m

m

t y

u x y C

dt

y

m

x t

В точках непрерывности функции

 

x

 



 

0

lim ,

,

y

u x y

x

т. е. интеграл

представляет собой классическое решение задачи Дирихле.

Для обобщенных функций медленного роста

 

 

 

,

n

x

для которых

свертка существует, функция

 

  

,

,

nm

u x y

x k x y

является обобщенным решением задачи Дирихле,

 



 

0

lim ,

в .

y

u x y

x

Например, если

   

  

,

x

x

то решением задачи Дирихле будет ядро интег-

рала