О.Д. Алгазин
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
1
1
1
1
/2 1/
2
2
0
2
2
1
2
n
n
nm nm
n
n m
r dr
C C
x dx
m r
/2 1
1
1
1
/2 1/
2
0
1
Г Г
2
2
2
.
1
2
2
1
Г
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n m
n
t
m
dt
n
m
m
t
m
Здесь выполнена замена переменной
2
2
2
m r
t
и использована формула
1
0
Г Г
,
0,
0,
Г
1
a
b c
a b
t
dt
a b
a b
t
где Г — гамма-функция Эйлера. Таким образом, имеем
/2
1
2 Г
2
2 .
1
2 Г
2
n
nm
n n
n
m
m
C
m
(13)
Автомодельное решение уравнения типа Трикоми — Келдыша, которое по-
лучено по формуле (11), обозначим как
2 /2
2 /2
1
,
nm
n m
m
x
k x y
y
y
/2 1/
2
2
2
2
,
2,
2
2
nm
n m
m
C y
m
m y
x
(14)
где
nm
C
— константа, определяемая по формуле (13).
При
0
m
получаем ядро Пуассона
0
0
1 /2
2
2
,
.
n
n
n
C y
k x y
y x
Здесь
0
1 /2
Г 1 / 2
.
n
n
n
C
При
1
m
получаем ядро интегрального представления решения задачи
Дирихле (5)–(7), найденное выше методом преобразования Фурье: