Previous Page  6 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 14 Next Page
Page Background

Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

9

Поскольку ядро интеграла — аппроксимативная единица, запишем равен-

ство

 



 

0

lim ,

y

u x y

x

в точках непрерывности

 

,

x

которое означает, что

интеграл представляет собой классическое решение задачи Дирихле.

В случае обобщенных функций медленного роста

 

 

 

,

n

x

для кото-

рых свертка существует, функция

 

  

1

,

,

n

u x y

x k x y

является обобщен-

ным решением задачи Дирихле:

 



 

0

lim ,

в .

y

u x y

x

Например, если

   

  

,

x

x

то решением задачи Дирихле будет ядро инте-

грала

  

  

1

1

,

,

,

,

n

n

u x y

x k x y k x y

  



1

0

lim ,

в .

n

y

k x y

x

Если

 

 

 

  

, 1

,

p n

x L

p

то согласно свойствам аппроксимативной еди-

ницы [5] имеем

 



 

0

lim ,

y

u x y

x

для почти всех

,

x

если

 

p

, то

,

u x y

сходится к

 

x

по норме

 

p n

L

при

 

0.

y

Для

1

n

интеграл, дающий решение задачи Дирихле для уравнения типа

Трикоми (5)–(7), имеет вид

 

 



 

3/2

5/6

3/2 1/3

2

3

3 Г 2 / 3 Г 5 / 6

,

.

2

4 9

y t

u x y

dt

y

x t

Ядро интегрального представления решения задачи Дирихле для много-

мерного уравнения типа Трикоми, которое является аппроксимативной еди-

ницей:

  

*

1

1

/2 1/3

3/2

3/2

2

3

1

,

,

4 9

n

n

n

n

x

y

k x y C

y

y

y x

где

 

 

*

1

/2 1/3

2

,

4 9

n

n

C

r

r

т. е. ядро

1

,

n

k x y

автомодельное решение

уравнения типа Трикоми, кото-

рое можно найти методом подобия

[15, 16]. Решим указанным методом задачу

Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша.

Решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша при

2

m

 

методом подобия.

Найдем ядро интегрального представления решения