Previous Page  11 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 14 Next Page
Page Background

О.Д. Алгазин

14

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

  

  

,

,

,

,

nm

nm

u x y

x k x y k x y

  



 

0

lim ,

в .

nm

y

k x y

x

Если

 

 

 

  

, 1

,

p n

x L

p

то из свойств аппроксимативной единицы [5]

следует, что

 



 

0

lim ,

y

u x y

x

для почти всех

,

x

если

 

,

p

то функция

,

u x y

сходится к

 

x

по норме

 

p n

L

при

 

0.

y

Пример.

В случае

  

1,

1

n m

имеем задачу Дирихле для уравнения Кел-

дыша

     

0,

,

0;

xx

yy

u yu

x y

 

 

     

, 0

,

;

u x

x

x



,

ограничена при

.

u x y

y

Если

 

x

— ограниченная кусочно-непрерывная функция, то решение

этой задачи представим интегралом

 



 

3/2 2

,

2

.

4

y t dt

u x y

y x t

Возьмем

 

 

    

,

0;

,

0,

a x

x

b x

тогда



 

 

0

3/2

3/2

2

2

0

,

2

2

4

4

dt

dt

u x y ay

by

y x t

y x t

 

 

2

.

2

2 4

a b b a x

y x

(15)

Легко проверить, что функция (15)

1)

удовлетворяет уравнению Келдыша

  

0,

0;

xx

yy

u yu

y

2)

ограничена

,

max ,

,

0;

u x y

a b y

3)

удовлетворяет краевому условию

 



 

 

 

 

  

0

,

0

lim ,

.

,

0

2 2

y

a x

a b b a x

u x y

x

b x

x