7 / 14
О.Д. Алгазин
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
задачи Дирихле (2)–(4), являющееся аппроксимативной единицей, в виде авто-
модельного решения уравнения типа Трикоми — Келдыша (2)
1
,
,
0,
0,
r
u x y
y
y
(9)
где
,
r x
т. е. ищем сферически симметричное решение, зависящее только от
.
x r
Уравнение типа Трикоми — Келдыша (2) для сферически симметричной
функции принимает вид
1
0,
0,
2.
m
rr
r
yy
n
y u
u u
y m
r
(10)
Для определения констант
и
выполним в уравнении (10) замену перемен-
ных
,
,
,
0,
l
k
u C u r C r y C y C
и потребуем, чтобы уравнение перешло
само в себя. Получим уравнение в новых переменных
2
2
1
0.
m l k
l
rr
r
yy
n
C u
u C u
r
Для того чтобы последнее уравнение совпало с уравнением (10), примем
2
2.
m l
k l
Откуда
2 ,
2
mk
l
— любое.
В новых переменных автомодельное решение должно иметь тот же вид (9)
1
.
r
u
y
y
Возвращаясь к старым переменным, получаем
.
l
k
c
c r
u
y
y
Для совпадения этого выражения с выражением (9) примем
2 ,
,
2
mk
l
т. е. любое. Возьмем
2 .
2
m kn n
Из условия
0,
0
следует, что
2.
m
Будем искать решение уравнения (10) в виде
1
2
,
,
2 .
2
kn
k
r
m
u
k
m
y
y
(11)