Previous Page  2 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 14 Next Page
Page Background

Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

5

Ограниченное (при



)

y

решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в

полупространстве

  

Δ ,

0,

,

0,

n

u x y

x

y

 

 

  

, 0

,

,

n

u x

x x

представим интегралом Пуассона [4, 5]

 

 

1 /2

1 /2

2 2

Г 1 / 2

,

.

n

n

n

n

y t

u x y

dt

x t

y

Аналогичную формулу можно вывести при решении задачи Дирихле для

уравнения типа Трикоми — Келдыша (1) с помощью преобразования Фурье по

переменным в граничной гиперплоскости

0

y

в случае

1

m

и методом подо-

бия при

 

2.

m

В такой формуле в частности содержится интегральная формула

Пуассона

0 ,

m

которую также можно получить с помощью преобразования

Фурье. Для

  

2

0

m

ранее эта формула была получена методом преобразования

Фурье в работе [6] Л.С. Парасюком. В случае

0

m

при вычислении многомер-

ных преобразований Фурье возникают большие трудности (кроме случая

1,

m

рассмотренного далее). В связи с этим применим метод подобия

.

С его помощью

найдем

автомодельное решение

уравнения (1) для любого

 

2,

m

которое явля-

ется

аппроксимативной единицей

в пространстве интегрируемых функций. Ре-

шение задачи Дирихле представим в виде свертки этого автомодельного решения

уравнения (1) с граничной функцией (если свертка существует). Из общих

свойств аппроксимативной единицы следует, что в случае ограниченной кусочно-

непрерывной граничной функции эта свертка записывается в виде интеграла и

дает классическое решение задачи Дирихле. В случае, например, граничной функ-

ции, являющейся обобщенной функцией медленного роста, свертка позволяет

найти обобщенное решение задачи Дирихле. В частности, ядро представляет

собой решение задачи Дирихле, где граничной функцией является дельта-

функция Дирака.

Отметим, что методом подобия получены фундаментальные решения для

оператора Трикоми

 

1,

1

m n

в работах Х. Баррос-Нето и И.М. Гельфанда

[7–9] и методом преобразования Фурье

 

1,

1

m n

в работе Х. Баррос-Нето и

Ф. Кардозо [10]. Методом преобразования Фурье в работах [11, 12] были реше-

ны задачи Дирихле и Дирихле — Неймана для уравнения Лапласа и Пуассона в

многомерном бесконечном слое.

Постановка задачи. Обозначения.

Введем следующие обозначения:

  

   

 

1

1

1

, ,

, ,

, ,

,

,

;

n

n

n

n

x x x

x y x x y

y

 

 

 

2

2

1 1

1

1

,

,

;

n

n n

n

x x

x xt x t

x t dx dx dx