Previous Page  4 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 14 Next Page
Page Background

Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

7

Это уравнение Эйри, общее решение которого запишем через функции

Эйри:

 

 

 

2/3

2/3

1

2

,

Ai

Bi

.

U t y c t

t y c t

t y

Поскольку

 



 

2/3

2/3

1

lim Bi

и Ai 0

,

3 Г 2 / 3

y

t y

с учетом граничных условий получим решение краевой задачи

 

  

2/3

2/3

,

3 Г 2 / 3 Ψ Ai

.

U t y

t

t y

Применив обратное преобразование Фурье, найдем решение исходной за-

дачи Дирихле для уравнения типа Трикоми (5)–(7) в виде свертки (если свертка

существует)

 

  

,

,

,

n

u x y

x k x y

(8)

где

2/3

2/3

1

1

,

3 Г 2 / 3

Ai

,

n

t

k x y

t y x y

— ядро.

Обозначим

   

1

,

,

n

x r t

— площадь единичной сферы в пространстве

.

n

Для вычисления обратного преобразования Фурье перейдем к сфериче-

ским координатам и учтем, что для положительных значений аргумента функ-

ция Эйри выражается через функцию Макдональда

  

 

2/3

1/3

3/2

1/3

1

Ai

2 / 3

,

0.

3

y

y K y

y

Имеем

 

2/3

2/3

1

3 Г 2 / 3

,

Ai

n

ixt

n

n

k x y

t y e dt

 

  

  

  

1

2/3

2/3

/2

cos

2

0

0

3 Г 2 / 3

Ai

sin

2

n

n

ir

n

n

y d e

d

 

 

 

  

2/3

2/3

/2

/2 1

/2 /2 1

0

3 Г 2 / 3

Ai

2

n

n

n n

y

J

r d

r

 

 

 

 

2/3

3/2 1/3 /2

1/3

/2 1

/2

/2 1

0

3 Г 2 / 3

2 / 3

,

2

3

n

n

n n

y

K y

J

r d

r

где

 

/2 1

n

J

r

 —

функция Бесселя первого рода порядка

 

ν / 2 1.

n

Приведен-

ная формула справедлива и при

1,

n

что легко проверить. Последний интеграл

выражается через гипергеометрическую функцию

F

[14]: