Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
7
Это уравнение Эйри, общее решение которого запишем через функции
Эйри:
2/3
2/3
1
2
,
Ai
Bi
.
U t y c t
t y c t
t y
Поскольку
2/3
2/3
1
lim Bi
и Ai 0
,
3 Г 2 / 3
y
t y
с учетом граничных условий получим решение краевой задачи
2/3
2/3
,
3 Г 2 / 3 Ψ Ai
.
U t y
t
t y
Применив обратное преобразование Фурье, найдем решение исходной за-
дачи Дирихле для уравнения типа Трикоми (5)–(7) в виде свертки (если свертка
существует)
,
,
,
n
u x y
x k x y
(8)
где
2/3
2/3
1
1
,
3 Г 2 / 3
Ai
,
n
t
k x y
t y x y
— ядро.
Обозначим
1
,
,
n
x r t
— площадь единичной сферы в пространстве
.
n
Для вычисления обратного преобразования Фурье перейдем к сфериче-
ским координатам и учтем, что для положительных значений аргумента функ-
ция Эйри выражается через функцию Макдональда
2/3
1/3
3/2
1/3
1
Ai
2 / 3
,
0.
3
y
y K y
y
Имеем
2/3
2/3
1
3 Г 2 / 3
,
Ai
2π
n
ixt
n
n
k x y
t y e dt
1
2/3
2/3
/2
cos
2
0
0
3 Г 2 / 3
Ai
sin
2
n
n
ir
n
n
y d e
d
2/3
2/3
/2
/2 1
/2 /2 1
0
3 Г 2 / 3
Ai
2
n
n
n n
y
J
r d
r
2/3
3/2 1/3 /2
1/3
/2 1
/2
/2 1
0
3 Г 2 / 3
2 / 3
,
2
3
n
n
n n
y
K y
J
r d
r
где
/2 1
n
J
r
—
функция Бесселя первого рода порядка
ν / 2 1.
n
Приведен-
ная формула справедлива и при
1,
n
что легко проверить. Последний интеграл
выражается через гипергеометрическую функцию
F
[14]: