Previous Page  8 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 8 / 14 Next Page
Page Background

Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

11

Подставив функцию (11) в уравнение (10), запишем уравнение

 

 

  



       

  

2 2

2

2

1

1

2

1

0.

n

k r

r

k nr k r kr

r kn kn

r

r

Выполнив в этом уравнении замену переменной

  

2 2

1

,

k r

для функции

 

 

найдем гипергеометрическое уравнение

  

 

 



                  

2

1

1

1

1

1

0,

2 2

2

4 4

n

n n

n

k

k

k

которое запишем в виде

  

 

 



               

1

1

0,

c a b

ab

(12)

где

     

1

1

1 ;

;

.

2 2

2

2 2

n

n n

c

a

b

k

k

Общее решение гипергеометрического уравнения (12) имеет вид

 

  

  

      

1

1

2

, ; ;

1,

1; 2 ;

c

C F a b c

C F b c a c

c

 

    

    

/2 1/2

1

2

1

1

1

1

,

;

1 ;

0,

; 1

;

2 2 2 2 2

2

2 2

n k

n n

n

n

C F

C

F

k

k

k

k

  

 

  

/2 1/

2

1

2

1

1

,

;

1

;

.

2 2

2 2

2

n m

n n

n

C F

C

m

m

Здесь

, ; ;

F a b c

— гипергеометрическая функция. Возьмем частное решение

(обозначим константу

2

C

как

)

nm

C

 

 

  

/2 1/

2

.

nm

n m

C

Возвращаясь к старым переменным, получаем

 

 

 

 



/2 1/

2

2

2

.

2

1

2

nm

n m

C

r

m r

Константу

nm

C

выберем такой, чтобы интеграл

 

x

по всему пространству

n

был равен единице. Переходя к сферическим координатам и обозначая че-

рез

1

n

площадь единичной сферы в пространстве

,

n

находим