3 / 13
Ю.С. Белинская
124
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
= ,
= ( , , ),
= ,
t t y Y t x
v v
(5)
где
( 1)
(
1)
1 1
2
1
= ( , , ,
,
, ,
)
n
m
n
n
m
y y y
y
y
y
— состояние системы (4).
Пусть для системы (1) найдено управление
( ),
u t
которое позволяет следо-
вать желаемой траектории
*
( ).
x t
Однако на техническую систему могут воздей-
ствовать (как правило, случайным образом) внешние силы, которые не учиты-
ваются в модели (1). В результате этих воздействий система может изменить
состояние в некоторый момент времени
0
t
на
0
0 *
( )
( ).
x t
x t
В этом случае ста-
вится задача стабилизации: используя управление, вернуть систему на заданную
траекторию
*
( ).
x t
В случае системы (1) линеаризуемой динамической обратной связью (2) за-
дачу стабилизации решают выбором таких функций
= ( , , )
v V t x
и
*
( ),
t
что
*
*
( ( ), ( ))
x t
t
есть асимптотически устойчивое решение системы
= ( , , ( , , , ( , , )));
x f t x b t x V t x
(6)
= ( , , , ( , , )).
a t x V t x
(7)
Управление выбирают в виде = ( , ( ), ( ), ( , ( ), ( ))),
u b t x t
t V t x t
t
где
( )
x t
—
текущее состояние системы;
( )
t
— решение системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
= ( , ( ), ( , ( ), , ( , ( ), ))),
x f t x t b t x t
V t x t
=
( , ( ), , ( , ( ), ))
a t x t
V t x t
с начальным условием
0
0 *
( ) = ( ).
t
t
Задачу терминального управления
0
0
( ) = ,
( ) =
T
x t
x x T x
(8)
для системы (1) решают следующим образом. Для вспомогательных переменных
задают некоторые начальные и конечные значения, и задача терминального
управления ставится для расширенного пространства состояний:
0
0
0
0
( ) = ,
( ) = ,
( ) = ,
( ) = .
t
T
x t
x x T x
t
T
(9)
Систему (3) обратимой заменой переменной вида (5) преобразуют в эквива-
лентную систему (4). Применяя преобразование (5), получаем для системы (4)
задачу терминального управления
0
0 0 0
( ) = ( ,
,
),
( ) = ( ,
,
).
T T
y t
Y t x
y T Y T x
(10)
Решение этой задачи обычно находят в некотором заранее заданном про-
странстве, например, в пространстве полиномов по
t
степени
=1
2
1,
m
i
i
n
где ко-
эффициенты полиномов выбирают так, чтобы выполнялись условия (10). Обо-
значим это решение как
*
( ( ), ( )),
y t v t
(
,*
)
( ) =( ( )) ,
ni
i
i
v t
y t
=1, , .
i
m
Применяя
обратную к (5) замену переменных, получаем решение
*
*
( ( ),
( ), ( ))
x t
t v t
систе-
мы (3). Это решение удовлетворяет (9). Таким образом, зависимость
0
*
*
( ) = ( , ( ),
( ), ( )),
[ , ],
u t b t t x t v t t t T
решает задачу терминального управле-