4 / 13
Решение задачи терминального управления для плоской системы…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
125
ния (8). Для решения соответствующей задачи стабилизации обычно строят об-
ратную связь
1
( )
( )
( )
,
,
,
*
*
=0
= ( ( ))
(
( ( )) ),
=1, , ,
i
n
j
n
j
i
i
i
i j
i
i
j
v y t
y y t
i
m
(11)
где
,
i j
— постоянные коэффициенты, определяемые из условия асимптотиче-
ской устойчивости следующей системы линейных дифференциальных уравне-
ний (здесь
,*
=
( )
i
i
i
e y y t
):
1
( )
( )
,
= 0
=
,
=1, , .
i
n
n
j
i
i j
i
i
j
e
e
i
m
(12)
Обратная связь (11) дает решение задачи стабилизации (4), а
*
( )
y t
— асимпто-
тически устойчивое решение этой системы. Метод динамической обратной свя-
зи применим к плоским системам.
Систему (1) называют плоской [1], если определены такие функции
( )
( )
1 1
= ( , , , , ,
),
,
= ( , , , , ,
),
l
l
r
r
y h t x u u u
y h t x u u u
(13)
что переменные
x
и
u
выражаются через
t
, функции (13) и их производные в си-
лу системы (1) до какого-то конечного порядка, а любой конечный набор этих
функций, их производных в силу системы (1) и функции
t
функционально не-
зависим. При этом набор функций (13) называется линеаризующим (или плос-
ким) выходом системы (1). Можно показать, что для плоской системы число
плоских выходов равно числу входов системы.
Пример плоской системы.
Рассмотрим динамическую систему, описываю-
щую движение квадрокоптера. Модель задают [8, 9] следующей системой обык-
новенных дифференциальных уравнений с управлением:
= sin ;
= cos sin ;
= cos cos ;
= ;
= ;
= ,
mx u
my u
mz mg u
(14)
где ( , , )
x y z
— координаты центра масс квадрокоптера;
т
= ( ; ; )
a x y z
— суммар-
ное ускорение динамической системы;
m
— масса системы;
— угол рыскания
(угол Эйлера);
— угол крена;
— угол тангажа;
u
— сумма неконсерватив-
ных сил, действующих на систему (включая силы лобового сопротивления и
силу тяги винтов);
т
=(
)
— вектор угловых ускорений точки в системе
координат, связанной с телом.
Отметим, что выбором соответствующего углового ускорения
можно
обеспечить любое значение угла крена и первой производной угла крена, а от