5 / 13
Ю.С. Белинская
126
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
переменной
остальные уравнения не зависят. Поэтому четвертое уравнение
системы (14) можно рассматривать отдельно от остальных и исследовать систе-
му без четвертого уравнения.
Далее, решая задачи управления, примем
,
и
u
входами (управления-
ми) системы. Таким образом, система имеет трехмерное управление.
Система (14) является плоской с плоским выходом
1
2
3
= ,
= ,
= .
h x h y h z
(15)
Действительно, все переменные состояния системы можно выразить через
функции плоского выхода и их производные:
1
2
3
1
2
3
2
1
3
3
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
=
,
= cos
,
x h y h z h x h y h z h
h
h
h g
h g
а дифференцируя по времени последние соотношения, получаем выражения
для
и .
Любая плоская система динамически линеаризуема [1]. Для построения ди-
намической обратной связи, линеаризующей систему (14), используем алго-
ритм, изложенный в работе [7]. Введем дополнительные переменные
1 2
,
:
2 2
2
1
3
2 1
1 2
=
(
) ,
= .
h h h g
(16)
Такой выбор дополнительных переменных объясняется тем, что функ-
ции (16) вместе с функциями состояния системы (14) определяют обратную за-
мену переменных к переменным
( )
,
j
i
h
=1, , 3,
i
= 0, , 3.
j
Используя указанную замену переменных, выразим производные
1 2
,
и
входы системы через
1 2
,
,
переменные состояния и
(4)
= , = 1, 2, 3.
i
i
v h i
Про-
дифференцировав (16) по времени, получаем
1 2
2 2 2
2 1
1
2
3
;
= (cos
) sin cos sin
cos cos
.
v
v
v
(17)
Суммарную силу тяги
u
запишем как
1
= .
u m
(18)
Чтобы выразить
=
и
= ,
используем соотношения, которые были полу-
чены при доказательстве плоскостности системы. Имеем
2
3
2 1
1
2
1
3
2
1
2
1
1= sec ( cos
sin ) 2 (
tg ) ;
1 = cos sec
cos ( cos
sin )sin cos sin
2 .
v
v
v
v
v
(19)