2 / 15
Вариационная форма модели теплового пробоя твердого диэлектрика…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
5
явления теплового пробоя твердых диэлектриков исследовать решения суще-
ственно нелинейного дифференциального уравнения, включающего слагаемое,
экспоненциально зависящее от температуры, причем такое исследование допол-
нительно осложнено необходимостью учитывать зависимость теплопроводности
материала диэлектрика от температуры. Трудность указанного исследования
состоит в том, что нелинейное дифференциальное уравнение может иметь не-
сколько решений, а условием возникновения теплового пробоя диэлектрика явля-
ется отсутствие решения этого уравнения, что с физической точки зрения означа-
ет невозможность достижения теплового равновесия в слое диэлектрика.
Возможности количественного анализа явления теплового пробоя можно
расширить, применяя методы математического моделирования [9, 10], в том чис-
ле методы анализа моделей, описывающих температурное состояние твердых тел
[11, 12]. Один из путей связан с переходом от дифференциальной формы матема-
тической модели явления теплового пробоя, содержащей упомянутое нелинейное
дифференциальное уравнение, к вариационной форме такой модели. Каждая ста-
ционарная точка функционала, составляющего основу вариационной формы
модели, соответствует одному из решений указанного дифференциального урав-
нения. Поэтому вырождение стационарной точки функционала эквивалентно
исчезновению решения этого уравнения, а условия, при которых происходит та-
кое вырождение, определяют наступление состояния теплового пробоя. В насто-
ящей работе с использованием вариационной формулировки нелинейной задачи
установившейся теплопроводности в твердом теле [13, 14] построена вариацион-
ная форма математической модели теплового пробоя наиболее распространен-
ных применительно к электротехническим устройствам плоского и цилиндриче-
ского слоев электроизоляции, выполненных из твердого диэлектрика, и приведен
пример количественного анализа такой формы модели.
Основные соотношения.
Объемную мощность энерговыделения, связан-
ного с диэлектрическими потерями, определяет соотношение [5]
2
= ,
p E
(1)
где
E
— напряженность электрического поля, В/м;
— удельная объемная ак-
тивная проводимость диэлектрика при переменном напряжении, 1/(Ом
м),
0
0 0
0
10
tg
= tg = 2
tg
.
1, 8 10
r
r
r
f
f
Здесь
— угловая (круговая) частота переменного тока, рад/с;
0
= /(2 )
f
—
частота переменного тока, Гц;
2
12
0
=1/(4 ) 8, 8542 10
c
Ф/м — электрическая
постоянная;
r
— относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика;
— угол диэлектрических потерь.
Характер изменения величины
при изменении температуры
Т
диэлек-
трика зависит от состава и структуры его материала и от микромеханизма поля-
ризации [5−7]. При этом основной вклад в изменение величины
вноcит зави-