средние напряжения
ˉ
σ
ij
с помощью решения соответствующих задач
Ж
pq
при фиксированных значениях
ˉ
ε
pq
, затем вычислялись значения
инвариантов
I
σ
α
и
I
ˉ
ε
α
по формулам (47), тогда значение
I
σ
α
=
ϕ
α
и явля-
ется значением функции
ϕ
α
при фиксированных значениях
ˉ
ε
pq
. Меняя
затем значения
ˉ
ε
pq
, получаем новые значения функции
ϕ
α
.
Для приложений важна возможность упрощения эффективных
упруго-пластических характеристик (48). В работе [3] была предло-
жена так называемая простейшая модель анизотропной пластичности,
при которой линейные инварианты осредненных тензоров напряже-
ний и деформаций связаны линейной зависимостью, а квадратичные
– только с соответствующим инвариантом. Применительно к кубиче-
ской симметрии простейшая модель имеет следующий вид:
I
σ
1
=
λ
1
I
ε
1
,
I
σ
α
=
ϕ
α
(
I
ε
α
) = 2
λ
α
(1
−
ω
α
(
I
ε
α
))
,
α
= 2
,
3
(50)
где
λ
α
— эффективные константы упругости композита, а
ω
α
(
I
ε
α
)
— эф-
фективные функции пластичности А.А. Ильюшина. Ниже приведены
результаты проверки применимости простейшей модели пластичности
для композитов с кубической симметрией.
Результаты численного моделирования упруго-пластического
деформирования композита.
При вычислительном эксперименте
рассматривался пространственно-армированный углеалюминиевый
композит, с алюминиевой матрицей и углеродными волокнами, ко-
торые для простоты предполагались изотропными и упругими. Кон-
станты упругости волокна были взяты следующими:
E
= 250
ГПа,
ν
= 0
,
35
. Матрица полагалась упруго-пластической, функция пла-
стичности выбиралась в виде
ω
α
u
(
I
ε
(
N
)
2
) =
0
,
I
ε
(
N
)
2
≤
I
(
N
)
2
;
(1
−
k
(
N
)
)(1
−
I
(
N
)
2
/I
ε
(
N
)
2
)
,
I
ε
(
N
)
2
≥
I
(
N
)
2
,
(51)
который соответствует кусочно-линейной зависимости инвариан-
тов
I
σ
(
N
)
2
=
I
σ
(
N
)
2
I
ε
(
N
)
2
. Характеристики матрицы следующие:
E
= 70
ГПа,
ν
= 0
,
25
,
I
(
N
)
2
=
σ
(
N
)
T
/E
(
N
)
, где
σ
(
N
)
T
= 300
МПа —
предел текучести матрицы,
k
(
N
)
=
E
(
N
)
p
E
(
N
)
= 0
,
1
— отношение модулей
упругости в пластической и упругой зонах.
Результаты моделирования приведены на рис. 2–9.
На рис. 2 и 3 показаны эффективные диаграммы пластичности: на-
пряжение
ˉ
σ
33
–деформация
ˉ
ε
33
и напряжение
ˉ
σ
13
–деформация
ˉ
ε
13
для
композита с коэффициентом армирования 0,29, а также для волокна
и матрицы. Из этой диаграммы видно, что даже в направлении арми-
рования композит проявляет пластические свойства, причем предел
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
