причем
C
т
(
q,
˙
q
) ˙
q
= 0
, поэтому систему (2) можно переписать в виде
d
dt
(
D
(
q
) ˙
q
) +
G
(
q
) =
Bu,
(5)
удобном для последующих преобразований.
Система (2) в пространстве состояний имеет вид
˙
x
=
f
(
x
) +
4
X
j
=1
g
j
(
x
)
u
j
,
(6)
где
x
= (
q
т
,
˙
q
т
)
т
,
f
(
x
) =
˙
q
−
D
−
1
(
q
)(
C
(
q,
˙
q
) ˙
q
+
G
(
q
))
, g
j
(
x
) =
Θ
5
×
1
D
−
1
(
q
)
B
j
,
(7)
Θ
5
×
1
— нулевая матрица размера 5
×
1,
B
j
—
j
-й столбец матрицы
B
.
Фаза перехода наступает тогда, когда переносимая нога достигает
поверхности следующей ступени, на которую должен подняться робот.
В декартовой системе координат
X
2
, Z
2
с началом в конце опорной
ноги это условие запишется в следующем виде:
x
−
2
S,
где
S
=
{
(
q,
˙
q
)
|
Z
1
(
q
) =
l
Z
, X
1
(
q
)
> X
Q
(
q
)
}
,
где
X
Q
(
q
)
— абсцисса точки
Q
, соответствующей началу следующей
ступени, на которую должен подняться робот (см. рис. 1);
X
1
(
q
)
и
Z
1
(
q
)
— абсцисса и ордината конца переносимой ноги в системе коор-
динат
X
2
, Z
2
, задаваемые выражениями из (1).
Примем [2] следующие предположения относительно поведения
робота на фазе перехода:
а) после удара нога, ставшая опорной, не проскальзывает и не
отскакивает от поверхности;
б) за время удара положение робота не изменяется;
в) скорости всех звеньев робота меняются скачкообразно;
г) нога, ставшая переносимой, отрывается от поверхности без вза-
имодействия с ней.
В системе (6), описывающей движение робота во время первой
фазы, углы
q
32
и
q
42
определяют положение опорной ноги, а углы
q
31
и
q
41
— переносимой. Поэтому использование этой же модели для описа-
ния движения на следующем шаге возможно лишь после переобозна-
чения координат, отражающего смену опорной ноги в момент удара.
Для реализации этого переобозначения введем
q
−
и
q
+
— значения
q
в
моменты до и после удара. Тогда
q
+
=
Uq
−
,
(8)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
43
