Пусть также
r
=
r
1
+
. . .
+
r
m
. Если
r
=
n
, то система (15) при-
водится к каноническому виду. Если выполняется строгое неравен-
ство
r < n
, то всегда можно найти
n
−
r
дополнительных функций
ψ
r
+1
(
x
)
, . . . , ψ
n
(
x
)
таких, что матрица Якоби отображения
Ψ(
x
) = (
ψ
1
1
(
x
)
, . . . , ψ
1
r
1
(
x
)
, . . . , ψ
m
1
(
x
)
, . . . , ψ
m
r
m
(
x
)
, ψ
r
+1
(
x
)
, . . . , ψ
n
(
x
))
т
не вырождена в точке
x
0
. Следовательно, отображение
Ψ(
x
)
задает
локальную замену переменных в окрестности
x
0
. Значения дополни-
тельных функций в точке
x
0
могут быть выбраны произвольно. Кроме
того, если распределение
G
= span
{
g
1
, . . . , g
m
}
в окрестности
x
0
ин-
волютивно, то функции
ψ
r
+1
(
x
)
, . . . , ψ
n
(
x
)
всегда можно выбрать так,
чтобы выполнялись условия
L
g
j
ψ
i
(
x
) = 0
(16)
для любых значений
i
=
r
+ 1
, n
,
j
= 1
, m
при всех
x
из некоторой
окрестности точки
x
0
.
Введем обозначения
ξ
i
=
ξ
i
1
ξ
i
2
. . .
ξ
i
r
i
=
ψ
i
1
(
x
)
ψ
i
2
(
x
)
. . .
ψ
i
r
i
(
x
)
,
i
= 1
, m,
ξ
=
ξ
1
ξ
2
. . .
ξ
m
,
η
=
η
1
η
2
. . .
η
n
−
r
=
ψ
r
+1
(
x
)
ψ
r
+2
(
x
)
. . . . . .
ψ
n
(
x
)
.
Тогда в переменных
ξ
,
η
система (15) примет следующий вид:
˙
ξ
i
1
=
ξ
i
2
,
. . . . . .
˙
ξ
i
r
i
−
1
=
ξ
i
r
i
,
˙
ξ
i
r
i
=
b
i
(
x
) +
m
X
j
=1
a
ij
(
x
)
u
j
,
i
= 1
, m,
˙
η
=
q
(
ξ, η
) +
m
X
j
=1
p
j
(
ξ, η
)
u
j
,
y
i
=
ξ
i
1
,
(17)
где
x
= Ψ
−
1
(
ξ, η
)
. В случае инволютивности распределения
G
выпол-
няются условия (16), что во введенных обозначениях эквивалентно
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
47
