Суммарная модель движения двуногого робота с учетом соотно-
шений (6) и (13) принимает следующий вид:
˙
x
=
f
(
x
) +
4
X
j
=1
g
j
(
x
)
u
j
, x
−
/
2
S,
x
+
= Δ(
x
−
)
, x
−
2
S.
(14)
Нормальная форма и уравнения нулевой динамики.
Рассмо-
трим аффинную систему с
m
управлениями и
m
выходами:
˙
x
=
f
(
x
) +
m
X
j
=1
g
j
(
x
)
u
j
,
y
1
=
h
1
(
x
)
,
. . . . . . . . . . . .
y
m
=
h
m
(
x
)
,
(15)
где
x
2
R
n
,
f
(
x
)
,
g
j
(
x
)
— гладкие векторные поля,
h
i
(
x
)
— гладкие
функции, определенные в некоторой области пространства
R
n
. Будем
обозначать через
L
f
h
(
x
)
производную Ли функции
h
(
x
)
по векторному
полю
f
(
x
)
, вычисляемую по формуле
L
f
h
(
x
) =
∂h
∂x
f
(
x
)
.
Система (15) имеет векторную относительную степень
(
r
1
, . . . , r
m
)
в точке
x
0
, если выполнены следующие условия [5]:
1)
L
g
j
L
k
f
h
i
(
x
) = 0
при
i, j
= 1
, m
,
k < r
i
−
1
и при любых
значениях
x
из некоторой окрестности точки
x
0
;
2) квадратная матрица
m
-го порядка
A
(
x
) =
L
g
1
L
r
1
−
1
f
h
1
(
x
)
. . . L
g
m
L
r
1
−
1
f
h
1
(
x
)
L
g
1
L
r
2
−
1
f
h
2
(
x
)
. . . L
g
m
L
r
2
−
1
f
h
2
(
x
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L
g
1
L
r
m
−
1
f
h
m
(
x
)
. . . L
g
m
L
r
m
−
1
f
h
m
(
x
)
не вырождена в точке
x
=
x
0
.
Используя введенное определение, можно показать, что если систе-
ма (15) имеет векторную относительную степень
(
r
1
, . . . , r
m
)
в точке
x
0
, то справедливо неравенство
r
1
+
. . .
+
r
m
≤
n.
Обозначим
ψ
i
1
(
x
) =
h
i
(
x
)
,
ψ
i
2
(
x
) =
L
f
h
i
(
x
)
,
. . . . . . . . . . . . . . .
ψ
i
r
i
(
x
) =
L
r
i
−
1
f
h
i
(
x
)
.
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
