Можно показать, что матрица
A
(
x
) =
L
g
1
L
f
h
1
(
x
)
. . . L
g
4
L
f
h
1
(
x
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L
g
1
L
f
h
4
(
x
)
. . . L
g
4
L
f
h
4
(
x
)
не вырождена. Следовательно, для системы (6) с выходом (18) опре-
делена векторная относительная степень, равная
(2
,
2
,
2
,
2)
, тогда как
порядок
n
системы (6) равен 10. Это означает, что необходимо подо-
брать еще две функции
γ
1
(
q,
˙
q
)
и
γ
2
(
q,
˙
q
)
так, чтобы отображение
Φ(
x
) = (
h
1
, L
f
h
1
, h
2
, L
f
h
2
, h
3
, L
f
h
3
, h
4
, L
f
h
4
, γ
1
(
q,
˙
q
)
, γ
2
(
q,
˙
q
))
т
задавало замену переменных. Можно показать, что распределение
G
(
x
) = span
{
g
1
(
x
)
, g
2
(
x
)
, g
3
(
x
)
, g
4
(
x
)
}
инволютивно. Следовательно,
функции
γ
1
,
γ
2
можно подобрать так, чтобы выполнялись условия
L
g
j
γ
i
= 0
,
i
= 1
,
2
,
j
= 1
,
4
.
Выберем функцию
γ
1
(
q,
˙
q
)
, зависящую только от координат:
γ
1
(
q,
˙
q
) =
X
H
(
q
) =
L
(sin
q
42
+ sin
q
32
)
.
(20)
Для нахождения функции
γ
2
(
q,
˙
q
)
используем форму записи исход-
ной системы в виде (5). Сложим все уравнения этой системы. Как
следует из вида матрицы
B
, сумма ее элементов в каждом столбце
равна нулю, поэтому
d
dt
5
X
i
=1
(
D
(
q
) ˙
q
)
i
+
5
X
i
=1
G
i
(
q
) = 0
и, следовательно,
d
dt
5
X
i
=1
D
i
1
(
q
) ˙
q
1
+
5
X
i
=1
D
i
2
(
q
) ˙
q
31
+
+
5
X
i
=1
D
i
3
(
q
) ˙
q
32
+
5
X
i
=1
D
i
4
(
q
) ˙
q
41
+
5
X
i
=1
D
i
5
(
q
) ˙
q
42
=
−
5
X
i
=1
G
i
(
q
)
.
(21)
Выберем выражение под знаком производной в равенстве (21) в
качестве искомой функции
γ
2
(
q,
˙
q
)
. Перепишем его в виде
γ
2
(
q,
˙
q
) =
ω
(
q
) ˙
q,
(22)
где
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
