можно ограничиться нулевым приближением, т.е. решениями задач
(18), и считать
ϕ
j
(
x
) =
ϕ
j
0
(
x
)
.
В случае сферического ядра радиуса
a
, расположенного концен-
трично в сферической полости радиуса
b
, решениями задачи (18) будут
функции
ϕ
j
=
A
j
x
j
+
B
j
x
j
q
(
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
)
3
,
(19)
где коэффициенты
A
j
,
B
j
задаются формулами
A
j
=
a
3
a
3
−
b
3
;
B
j
=
a
3
b
3
2 (
a
3
−
b
3
)
, j
= 1
,
2
,
3
.
(20)
Гравитационная задача
. Силовая функция
U
внутренних и внеш-
них гравитационных сил зависит от движения ядра, частиц жидкости
и источника внешних гравитационных сил. Поэтому гравитационную
задачу можно рассматривать как задачу определения отклонений си-
ловой функции от значений при невозмущенном движении в областях,
занимаемых жидкостью, ядром, оболочкой.
Обозначим лагранжево изменение силовой функции внутренних
гравитационных сил рассматриваемой системы в области, занимаемой
жидкостью, через
U
(
i
)
, тогда
U
(
i
)
(
x, t
) =
U
r
+
U
(
i
)
l
+ ˉ
w
∙ r
U
(
i
)
0
,
(21)
где
U
(
i
)
0
(
x, t
)
— значения силовой функции в одном и том же элементе
гравитирующей среды в невозмущенном движении;
U
r
,
U
(
i
)
l
— эйлеро-
вы изменения силовых функций при смещении твердого ядра на
ˉ
w
r
(
t
)
,
а частиц жидкости на
ˉ
w
(
x, t
)
.
В случае ядра и оболочки сферической формы определение эйле-
ровых возмущений силовых функций можно легко получить, исполь-
зуя метод суперпозиции и известные выражения силовых функций
в невозмущенном состоянии. Например, силовая функция
U
(
i
)
l
будет
равна разности между суммой силовых функций жидкости, заполня-
ющей целиком оболочку со смещенным ядром плотностью, равной
плотности жидкости, и суммой силовых функций жидкости и ядра
при отсутствии смещения, т.е.
U
(
i
)
l
= 2
πγρ b
2
−
ˉ
r
2
3
−
2
a
3
3
|
ˉ
r
−
ˉ
w
r
| −
b
2
−
ˉ
r
2
3
+
2
a
3
3
|
ˉ
r
|
.
Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим
U
(
i
)
l
=
−
γ
m
•
r
|
ˉ
r
|
3
ˉ
w
r
∙
ˉ
r,
(22)
где
m
•
r
=
4
3
πρa
3
;
а
— радиус сферического ядра.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
23
