и в силу условия
ζ
3
= 0
получаем
ξ
+
1
=
−
L
(sin ˆ
q
−
32
+ sin ˆ
q
−
42
) =
−
0
,
5
l
X
.
Найдем закон изменения при ударе координаты
ξ
2
. Значение
ξ
2
в
момент после удара в силу соотношений (12) и (22) можно выразить
через вектор скоростей
˙
q
−
в момент до удара:
ξ
+
2
=
ω
(ˆ
q
+
)Δ
˙
q
(ˆ
q
−
) ˙
q
−
.
(41)
Угловые скорости
˙
q
−
k
,
k
= 1
,
31
,
32
,
41
,
42
, в момент перед ударом
можно выразить через
ξ
−
2
, решив систему линейных алгебраических
уравнений
L
f
h
i
(ˆ
q
−
,
˙
q
−
) = 0
,
i
= 1
,
4
,
ω
(ˆ
q
−
) ˙
q
−
=
ξ
−
2
относительно
˙
q
−
, получающуюся из системы (26) при наложении на
нее ограничений
ζ
2
i
= 0
,
i
= 1
,
4
. Пусть
r
−
1
jl
(ˆ
q
−
)
— элемент матрицы
R
−
1
(ˆ
q
)
с индексами
j
,
l
, а
σ
(ˆ
q
−
)
— вектор-столбец с компонентами
r
−
1
j
5
(ˆ
q
−
)
,
j
= 1
,
5
. Тогда
˙
q
−
=
R
−
1
(ˆ
q
−
)
Θ
4
×
1
ξ
−
2
=
σ
(ˆ
q
−
)
ξ
−
2
.
(42)
Объединив выражения (41) и (42), окончательно получим
ξ
+
2
=
δξ
−
2
,
(43)
где
δ
=
ω
(ˆ
q
+
)Δ
˙
q
(ˆ
q
−
)
σ
(ˆ
q
)
.
Найдем значение
ξ
2
в момент перед ударом переносимой ноги о
поверхность ступени, обеспечивающее периодичность решения систе-
мы (37) совместно с соотношением (43).
Обозначим через
t
0
и
t
1
два последовательных момента удара ноги
о поверхность лестницы. Из проведенных рассуждений следует, что
ξ
1
(
t
0
) =
−
0
,
5
l
X
,
ξ
1
(
t
1
) = 0
,
5
l
X
. Для того чтобы движение робота было
периодическим, необходимо, чтобы функция
ξ
1
(
t
)
≡
X
H
(
t
)
монотонно
возрастала на интервале
(
t
0
, t
1
)
. Тогда
˙
ξ
1
>
0
для любого
t
2
(
t
0
, t
1
)
и
система (37) эквивалентна обыкновенному дифференциальному урав-
нению первого порядка с разделяющимися переменными:
dξ
2
dξ
1
=
β
(
ξ
1
)
α
(
ξ
1
)
ξ
2
.
(44)
Интегрируя уравнение (44) на отрезке
[
t
0
, t
1
]
, получим
ξ
2
2
2
=
(
ξ
+
2
)
2
2
+
ξ
1
Z
−
0
,
5
l
X
β
(
ξ
)
α
(
ξ
)
dξ.
(45)
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
