В силу положительности величин
K
i,
1
,
K
i,
2
все корни этого уравне-
ния имеют отрицательные действительные части. Следовательно, все
решения системы (35) сходятся к нулю экспоненциально.
Закон управления
u
(
x
)
найдем, подставляя в соотношение (32) вме-
сто
v
векторную функцию
Ψ(
ζ
1
, . . . , ζ
8
) =
ψ
1
(
ζ
1
, ζ
2
)
ψ
2
(
ζ
3
, ζ
4
)
ψ
3
(
ζ
5
, ζ
6
)
ψ
4
(
ζ
7
, ζ
8
)
и учитывая соотношения (24).
Построение периодического решения.
Обозначим правую часть
построенной замкнутой системы через
f
cl
(
x
)
:
f
cl
(
x
) =
f
(
x
) +
g
(
x
)
u
(
x
)
,
и запишем модель шагания двуногого робота с коленями в виде
˙
x
(
t
) =
f
cl
(
x
(
t
))
,
x
−
(
t
)
/
2
S,
x
+
(
t
) =Δ(
x
−
(
t
))
, x
−
(
t
)
2
S.
(36)
Из множества решений системы (36) можно выделить единствен-
ное, если в произвольный момент времени
t
0
, принятый за начальный,
задать условия для координат
q
и угловых скоростей
ω
. Получающееся
решение
x
(
t, t
0
, x
0
)
будет удовлетворять всем требованиям, заданным
при конструировании управления: за конечный момент времени
T
s
угол наклона туловища
q
1
приблизится к
q
d
1
, траектории движения та-
за и конца опорной ноги станут параболическими, положение таза
зафиксируется посередине между концами ног. Недостаток построен-
ной модели заключается в том, что невозможно заранее, зная лишь
начальное условие
x
(
t
0
) =
x
0
, предсказать поведение робота в после-
дующие моменты времени: может оказаться, что условие
x
−
(
t
)
2
S
перемены роли ног выполнится раньше, чем наступит момент
t
=
T
s
,
а это значит, что построенное управление
u
не успеет стабилизировать
движение системы. Кроме того, в этом случае вектор
x
+
(
t
)
, использу-
емый в качестве начального условия для системы
˙
x
=
f
cl
(
x
)
, от шага к
шагу будет принимать разные значения, и нет гарантии того, что через
определенное число шагов
x
+
не станет таким, что выходящая из него
траектория системы
˙
x
=
f
cl
(
x
)
вообще не вернется на поверхность
S
,
т. е. следующего удара ноги о поверхность не будет и робот упадет.
Для устранения указанного недостатка поступим следующим обра-
зом: построим периодическое решение системы (36) и будем исполь-
зовать в качестве начальных условий для этой системы значения век-
тора
x
в момент перед ударом ноги о поверхность
S
.
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
